A todos nos enseñaron en el colegio que todos los cuerpos caen con la misma aceleración, independientemente de su peso. Esto es debido a que la fuerza de la gravedad es directamente proporcional a la masa del obeto. Un cuerpo con el doble de masa que otro, será atraído con el doble de fuerza, pero como la aceleración producida es igual a la fuerza dividida entre la masa, nos quedaría que es la misma para todos los objetos. De hecho, en el colegio también nos enseñaron que esa aceleración, a nivel del mar es de 9.8 m/s² y se conoce normalmente como g.

Eso es totalmente cierto. Es pura física. Pero muchas veces, para dar más énfasis a este hecho, nos cuentan el experimento que realizó Galileo Galilei en la Torre Inclinada de Pisa. Dice la leyenda que Galileo subió a lo alto de la torre y dejó caer dos objetos, siendo uno más pesado que el otro. Y comprobó que ambos objetos cayeron al suelo al mismo tiempo. He dicho leyenda, y eso es porque dudo mucho que eso pudiera ocurrir así. ¿Y por qué? Bueno, obviando el hecho de que ninguna persona sensata se arriesgaría a abrirle la cabeza a un posible transeunte que paseara por allí, es muy improbable que los dos cuerpos cayeran al suelo al mismo tiempo. ¿Y por qué? Pues porque a pesar de que la gravedad imprime la misma aceleración a todos los cuerpos, éstos no caen a la misma velocidad. ¿Pero no es eso una contradicción? Pues no, porque la gravedad no es la única fuerza que actúa sobre un cuerpo en caída libre. Existe otra fuerza muy importante que se opone a la caída, y es el rozamiento del aire.

Todos habremos hecho problemas de caída libre en las clases de física, o del famoso tiro parabólico. Y siempre, el enunciado del problema decía lo mismo: “considerar el rozamiento del aire despreciable” que básicamente quiere decir, suponer que la fuerza de la gravedad es la única fuerza existente. Este planteamiento es bastante lógico desde un punto de vista pedagógico. Si nos están enseñando la fuerza de la gravedad, pues los problemas deberían basarse exclusivamente en eso. Pero en el mundo real, el rozamiento del aire no es nada despreciable. Es la fuerza debida al rozamiento del aire la que hace que un paracaidas funcione. Es el rozamiento del aire el que hace que la mayoría de los meteoritos se desintegren antes de tocar el suelo, y el que hace que los vehículos espaciales se calienten tanto en la reentrada. Es el aire el que produce la fuerza de sustentación de un avión, o el que permite que un helicóptero se mantenga flotando. Así que su efecto no es en absoluto despreciable.

Vale ¿y de qué depende la fuerza de rozamiento del aire? Pues depende de la geometría del objeto, de la densidad del aire, y de la velocidad. Y no depende en absoluto de la masa del objeto. Estos dos últimos factores son los más importantes, pues nos permite razonar que si tenemos dos objetos de igual forma y tamaño pero de distinta masa, la fuerza debida al rozamiento del aire depende exclusivamente de la velocidad de caida.

Imaginemos que tenemos dos bolas del mismo tamaño, una de plomo y otra de corcho, y las dejamos caer desde cierta altura. En el instante en que las soltamos, la única fuerza que actua sobre ellas es la gravedad, por lo que sufrirán la misma aceleración (los famosos 9.8 m/s²), y caerán a la par. Pero desde el momento en el que empiezan a caer, aparece la fuerza de rozamiento del aire, que se opone al movimiento de caida. Al principio, como caen a la misma velocidad, la fuerza será igual para ambas. Pero como la aceleración es igual a la fuerza dividida entre la masa, eso quiere decir que la aceleración (deceleración, más bien) debida al rozamiento del aire será menor en la bola de plomo que en la de corcho. Y ahí está el quid de la cuestión. El efecto del rozamiento del aire frena más la bola de corcho que la de plomo, y por tanto esta última llegará antes al suelo.

De hecho, es el rozamiento del aire el que hace que en un momento dado un cuerpo en caída libre deje de acelerar. En efecto, si la fuerza de rozamiento es directamente proporcional a la velocidad (en realidad, lo es al cuadrado de la velocidad, para objetos macroscópicos), ésta va aumentando a medida que el objeto acelera. El objeto irá acelerando cada vez menos, pero aumentando su velocidad, hasta que llegue un momento en el que la fuerza de rozamiento sea igual a la fuerza de la gravedad y el cuerpo caiga a velocidad constante. Eso es lo que se conoce como velocidad terminal, un concepto bien conocido por los que se dedican al paracaidismo y la caída libre.

Resumiendo, que si bien es cierto que la gravedad imprime la misma aceleración a todos los cuerpos, no es menos cierto que el rozamiento del aire hace que aquellos caigan con diferente aceleración. Si realizaramos el experimento de Galileo en una cámara de vacío, no cabe duda de que todos los cuerpos caerían igual. Incluso una hoja de papel o una pluma caerían como un ladrillo.

En mi último artículo, comenté que las leyes de la termodinámica no son tan conocidas por el ciudadano de a pie, como la gravedad. Y aunque la gravedad sea una de las fuerzas más conocidas por todos, y en el colegio nos enseñaran la famosa ecuación de la Ley de Gravitación Universal, a veces hay conceptos generalizados, que son totalmente erróneos.

Posiblemente el más extendido es el relacionado con la ausencia de gravedad. Desde pequeñitos nos han dicho que en el espacio no hay gravedad. Lo vemos en las películas, y lo podemos ver en las noticias cuando nos muestran a los astronautas de las lanzaderas espaciales, o de la Estación Espacial Internacional (ISS). Así que en el espacio no hay gravedad, y las cosas flotan ¿verdad?

Pues va a ser que no. En el espacio sí hay gravedad. Y mucha. De hecho, es la gravedad lo que mantiene a las lanzaderas y satélites artificiales dando vueltas alrededor nuestro. Es lo que mantiene a la Luna en su órbita alrededor de nuestro planeta, y a los planetas orbitando alrededor del Sol, y a las estrellas formando galaxias. Y es lo que está frenando la expansión del universo. De hecho, no hay un lugar en todo el universo observable donde no haya alguna interacción gravitatoria, dado que la gravedad tiene un alcance ilimitado.

Si recordáis la ecuación que nos enseñaron en el cole (F=G·M·m/r²), vemos que la fuerza de gravedad entre dos cuerpos es igual al producto de sus masas, dividido por el cuadrado de la distancia que las separa, multiplicado todo ello por la famosa Constante de Gravitación Universal (que como su nombre indica, es constante). Eso quiere decir que cuando más lejanos estén los objetos, menor es la fuerza de gravedad entre ellos. Pero nunca llega a ser cero (aunque sí que puede llegar a ser tan pequeña que sea inapreciable).

Pensad también lo siguiente. Como la gravedad disminuye con el cuadrado de la distancia, si ésta se duplica, la fuerza se reduce a la cuarta parte. Es decir, si despegamos en un cohete, y nos alejamos de la superficie, una distancia igual al radio de la Tierra, nuestro vehículo pesará una cuarta parte de lo que lo hacía en tierra. Si nuestro cohete pesara una tonelada, a esa distancia pesaría todavía 250 kg.

Vamos a hacer ótro cálculo. Pensemos, por ejemplo, en la ISS. Todos hemos visto alguna vez fotos o vídeos de la estación espacial y de sus tripulantes flotando en su interior. Consultando en la Wikipedia, vemos que se encuentra a una altitud media de 333 km sobre el nivel del mar. Los que quieran ser más precisos pueden comprobar en tiempo real la posición exacta de la ISS en ésta página de la NASA. Consultando nuevamente la Wikipedia, veremos que el radio medio de la Tierra es de 6.371 km. Esto quiere decir que la distancia a la que se encuentra la ISS del centro de la tierra es 1,05 veces la distancia a la que nos encontramos nosotros en la superficie, por lo que la gravedad será unas 0,9 veces la que experimentamos con los pies sobre el suelo. Esto quiere decir que una persona que pese 80 kg (siendo puristas, el kilogramo es una unidad de masa, no de peso, que es una fuerza; pero así nos entendemos), sería atraída por la gravedad por una fuerza equivalente a la de un peso de unos 72 kg. Creo que todo el mundo estará de acuerdo en que 72 kg sigue siendo bastante peso.

¡Pero y esas fotos de los astronáutas! ¿Es todo mentira? No, por supuesto que no, pero el hecho de que dentro de la ISS o de cualquier vehículo espacial con los impulsores apagados las cosas floten, no quiere decir que no haya gravedad. Cuando un objeto (un satélite, una lanzadera) se encuentra en órbita, no está en estado de ingravidez (puesto que la gravedad sí actúa) sino en estado de caída libre. Esto quiere decir que dicho objeto en realidad está cayendo hacia la Tierra, pero como su velocidad tangencial es tan alta, el suelo se «curva» más rápido, por decirlo de alguna manera, y por tanto el objeto nunca llega a tocar el suelo. Otra forma de verlo sería pensando que la fuerza centrífuga debida a la trayectoria circular (en realidad, elíptica en la mayoría de los casos), se iguala a la fuerza de gravedad.

La sensación en el interior de un vehículo espacial es la misma que la que tendríamos si nos encerraran en un contenedor más o menos grande y nos lanzaran desde un avión. En el interior, todo parecería flotar (aunque es un experimento que no aconsejo a nadie). De hecho, la Relatividad General de Einstein, nos dice que la ingravidez es indistinguible de la caída libre, y que la gravedad es indistinguible de una aceleración constante (en un entorno local, pues si disponemos de suficiente precisión y espacio, podríamos detectar el gradiente propio de un campo gravitatorio, esto es, la diferencia de fuerza dependiendo del lugar), con todas las implicaciones que eso trae consigo, como la dilatación temporal o la contracción espacial.

Para que un objeto se encuentre en órbita, su velocidad y trayectoria deben ser las apropiadas. Si simplificamos un poco y pensamos en una trayectoria circular, la fuerza centrífuga (o centrípeta, depende del sistema de referencia que elijamos) es igual a la masa del objeto, por el cuadrado de la velocidad, dividido por el radio de la órbita (F=m·v²/r). Y esta fuerza debe ser igual a la gravitatoria. Vemos por tanto que para una órbita circular, la velocidad debe tener un valor muy definido (tenemos que, v²=G·M/r), que únicamente depende del radio de la órbita (pues la constante de gravitación universal, y la masa de la Tierra, no varían). Si el objeto fuera más rápido, se alejaría cada vez más, y si fuera más despacio, caería poco a poco siguiendo una trayectoria espiral (la realidad es más complicada, pues las órbitas pueden ser elípticas, lo que nos da un rango de velocidades, pero creo que esta simplificación vale para entenderlo).

Por tanto, las cosas no flotan en el espacio «por definición», sino que el vehículo o estación espacial en cuestión, tiene que estar en órbita. Y eso quiere decir que debe tener determinada velocidad, o si no caería irremediablemente sobre nuestro planeta, o se alejaría indefinidamente.

Se considera que las Leyes de la Termodinámica son las leyes de «más categoría» de toda la física, y por ende, de toda la ciencia. Son las más comprobadas de toda la ciencia, y se consideran auténticos pilares de la física. Si algún día se demostraran equivocadas, toda nuestra ciencia moderna se tambalearía.

Y sin embargo, pese a su importancia, son menos conocidas por el «ciudadano de a pie» que otras, como la Ley de Gravitación Universal, o la Ley de Acción y Reacción (Tercera Ley de Newton). Pues bien, en el artículo de hoy las repasaremos utilizando una divertida forma de recordarlas (una conocida formulación humorística de las tres leyes clásicas de la termodinámica, cuyo origen desconozco).

Primera Ley

La Primera Ley de la Termodinámica, en realidad sí que es muy conocida por el público en general, y posiblemente sea la ley física más conocida por todo el mundo. Se trata de la ley de conservación de la energía, que podemos enunciar así: «La energía ni se crea ni se destruye, sólo se transforma».

Su enunciación formal es diferente, pero la idea que subyace es esa. En cualquier proceso que podemos imaginar, la energía en juego es siempre la misma. Si ganamos energía, debe ser a costa de algo o alguien, y si la perdemos, debe ir a algún sitio. No podemos obtener energía de la nada, o como dice el dicho popular, «de donde no hay, no se puede sacar».

Durante siglos, inventores de todo tipo han intentado encontrar lo que se denomina «máquina de movimiento perpetuo de primera especie»: una máquina que produce más energía de la que consume. Pero como podemos ver, eso es imposible. La Primera Ley nos lo impide.

En el juego de la termodinámica, sencillamente, no puedes ganar.

Segunda Ley

La Segunda Ley de la Termodinámica es algo menos conocida, y más «críptica». Puede que a alguno le suene como la ley de «eso raro de la entropía». En efecto, la enunciación más común de la Segunda Ley nos dice que la entropía de un sistema (cerrado y que no esté en equilibrio), tiende a incrementarse con el tiempo, hasta alcanzar el equilibrio.

¿Y eso qué significa? ¿Qué es eso de la entropía? Bueno, podemos definir la entropía como la «energía no aprovechable» para realizar un trabajo. Es decir, una energía que está ahí, pero que no podemos utilizar. ¿Y cómo es eso? Veamos, cualquier objeto del universo, por el mero hecho de estar a una temperatura superior al cero absoluto (0 K), tiene una energía interna, que denominamos calor (en realidad, siendo puristas, el calor es la transferencia de esa energía interna, pero de momento no necesitamos ser tan precisos). Pero para aprovechar ese calor, el objeto debe poder transferirlo a otro. Y para que esto ocurra, ese segundo objeto debe tener menor temperatura.

Esto es muy fácil de entender si pensamos en lo siguiente: imaginemos que tenemos una jarra de leche caliente, y otra de leche fría. Si mezclamos ambos líquidos, la leche fría se calentará, y la caliente se enfriará, hasta que tengamos toda la leche a la misma temperatura. Sin embargo, si volvemos a separar la leche en dos jarras, nunca, jamás de los jamases, una se enfriará a costa de la otra (que se calentaría), de forma natural. Al mezclar la leche de las dos jarras, hemos realizado un proceso irreversible. Si queremos volver a tener una diferencia de temperatura entre las jarras, necesitaremos una fuente de energía externa, para «bombear» el calor de una a la otra.

Así que podemos pensar que la Segunda Ley nos dice que el calor fluye de forma natural de los cuerpos de más temperatura, a los de menos. Y si queremos invertir ese proceso, necesitamos aplicar energía. Por eso los aires acondicionados y los frigoríficos consumen energía, a pesar de extraer calor (energía) de otros objetos, ya que ese calor extraído no es aprovechable.

Una de las consecuencias de esta ley (y así la definió Lord Kelvin), es que no podemos transformar el 100% del calor en energía aprovechable. O lo que es lo mismo, no existe ningún proceso de transformación de energía, 100% eficiente. En todo proceso, perderemos algo de energía, en forma de calor, que se utilizará para elevar la temperatura de algún componente de nuestra máquina, o de su entorno, y no podremos aprovechar.

Durante siglos, los inventores han intentado también encontrar una forma de transformar la energía, con una eficiencia del 100%. Pero eso sería una «máquina de movimiento perpetuo de segunda especie», algo menos ambiciosa que la de primera especie, pero igualmente imposible, ya que la Segunda Ley nos lo impide.

En el juego de la termodinámica, tampoco puedes empatar.

Tercera Ley

La Tercera Ley de la Termodinámica, sí que es una «gran desconocida» para público en general. Es «la otra», el George Harrison de la Termodinámica. Y sin embargo también es fundamental, ya que nos permite definir escalas absolutas de temperatura. Básicamente nos dice que es imposible alcanzar la temperatura de 0 K (cero absoluto), en un número finito de procesos, lo que en la práctica significa que es imposible alcanzar dicha temperatura.

Eso quiere decir que todos los objetos del universo tienen una temperatura superior a 0 K, por lo que todos los objetos del universo, tienen algo de calor, aunque sea muy poco. Y por tanto, ninguno escapa de la Termodinámica.

En el juego de la termodinámica, ni si quiera puedes abandonar.

«Ceroésima» Ley

Existe una Ley Cero de la Termodinámica. Este curioso nombre es debido a que es mucho más básica que las demás, pero se enunció con bastante posterioridad (ya teníamos una Primera Ley). Dice que dos sistemas que estén en equilibrio termodinámico con un tercero, entonces están en equilibrio entre sí. Puede parecer una perogrullada, pero es necesaria enunciarla formalmente.

Tiranía termodinámica

Si nos quedamos con las tres leyes clásicas de la termodinámica, tenemos un juego en el que nunca querríamos participar, si tuviéramos la posibilidad de elegir:

No puedes ganar.

No puedes empatar.

No puedes abandonar.

Así que sólo nos queda perder. Y ciertamente, si el universo durase lo suficiente, llegaría un momento en el que todas sus partículas estarían a la misma temperatura, y sería imposible ningún proceso termodinámico. Es lo que se conoce como la Muerte Térmica del Universo.

Pero no podemos elegir. Es el juego que nos ha tocado jugar, y no podemos cambiar sus reglas.

En esta época de calor e incendios forestales, todos sabemos que el viento es un factor fundamental en la propagación del fuego, avivándolo. Los que alguna vez hayan hecho alguna barbacoa, o tengan una chimenea en casa, sabrán que soplando sobre las brasas, avivamos la combustión. Y sin embargo, al soplar sobre una cerilla encendida o una vela, se apaga. ¿Por qué?

La combustión

Seguramente todo el mundo sabe en qué consiste una combustión, pero no está de más recordarlo. De forma genérica, una combustión es una reacción química de reducción-oxidación y exotérmica, es decir, que desprende calor. Para que se produzca una combustión, son necesarios tres factores: un material combustible (madera, alcohol, gasolina, ya sabéis), un oxidante (generalmente oxígeno) y calor. Si falta alguno de estos tres elementos, no hay combustión.

La presencia de los dos primeros es conocida por todos, pero a veces se nos olvida la necesidad del tercer factor: el calor. Mientras haya combustible y oxígeno, un fuego se mantiene porque el calor que desprende es suficiente para mantener la temperatura por encima del valor necesario para mantener la reacción química de combustión. Pero si la temperatura desciende por debajo de ese valor, la combustión se detiene.

La llama

¿Qué es una llama? Uno puede estar tentado de responder que es la manifestación de una combustión, pero… ¿acaso no hay combustiones sin llama? Pues sí, y un ejemplo conocido por todos es la del tabaco. Una vez encendido un cigarrillo (o un puro, o una pipa), no hay llama, pero es evidente que sí hay una combustión en marcha, pues el tabaco se va consumiendo. Además, al «dar una calada», o simplemente soplando sobre la punta, vemos que la combustión se intensifica.

Así pues ¿qué es exactamente la llama? o mejor aún ¿qué la produce? Pues bien, la llama es también una reacción química exotérmica, que necesita de cierta temperatura para mantenerse, pero que es producida por los gases resultantes de la combustión. Así que el decir que la llama es consecuencia de la combustión no es incorrecto, pero es una consecuencia indirecta: la combustión genera calor y gases, que a su vez sufren otra reacción que genera luz y calor.

Soplando

Teniendo en cuenta todo esto, vamo a ver qué ocurre exactamente cuando soplamos (o hay viento) sobre un fuego. Por un lado, al soplar estamos aportando una cantidad extra de aire, y por tanto de oxígeno, al sistema en combustión, y así la favorecemos. Por otro lado, estamos alejando de la combustión los gases que forman la llama.

Tanto la combustión como la llama, generan calor y necesitan estar por encima de cierta temperatura para mantenerse. Si los gases que producen la llama son alejados de la fuente de combustión muy rápidamente, no recibirán el calor necesario para «inflamarse» e iniciar la reacción química. En un incendio, o en una hoguera, por mucho que soplemos (o por mucho viento que haga), no seremos capaces de alejar todos los gases generados por la combustión. Además, estaremos añadiendo aire renovado, que favorece la misma. En una cerilla o una vela, sin embargo, un soplido nos basta para alejar suficientemente los gases de la combustión, e impedir que ardan. En estos casos, además, el calor de la combustión no es suficiente para automantenerse, siendo necesario el aporte adicional de la llama, por lo que al apagar ésta, terminamos rápidamente con la combustión. Además, hay que tener en cuenta que el aire expulsado durante un soplido, está frío (como expliqué en el artículo «Soplar para enfriar la sopa»). Así, al soplar sobre una cerilla, no sólo hacemos desaparecer la llama, sino que enfriamos todo el sistema. No mucho, pero basta para ayudar a detener una combustión tan pequeña.

Hace tiempo que los hornos microondas se han convertido en un electrodoméstico habitual e indispensable en nuestros hogares. Sin embargo, para muchos sigue siendo un aparato misterioso que calienta la comida de forma casi mágica. No hay llama, ni una resistencia eléctrica que se caliente (bueno, los hay con gratinadores, pero la mayor parte del calor no viene de ahí). ¿Cómo funcionan?

La molécula de agua

En el colegio nos enseñaron que la molécula de agua está formada por dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno, y que se representa como H₂O. Nos enseñaron también que los dos átomos de hidrógeno estaban unidos al de oxígeno mediante un enlace covalente cada uno. En este tipo de enlaces, los átomos comparten electrones para completar sus capas de valencia, de forma que un electron pertenece a dos átomos. Pero hay átomos que “tiran” más de los electrones que otros, de forma que aunque los electrones estén compartidos, pertenecen más a un átomo que a otro. Los electrones tienen carga eléctrica negativa, por lo que aunque la molécula sea eléctricamente neutra considerada de forma global (tiene el mismo número de electrones que de protones), hay regiones con cargas positivas (menos electrones) y regiones con cargas negativas (más electrones). A esto se le llama polaridad.

En el caso de la molécula de agua, los dos electrones compartidos están más ligados al oxígeno que a los hidrógenos, por lo que el oxígeno tiene una pequeña carga eléctrica negativa, y los dos hidrógenos la tienen positiva.

Esto no tendría la menor importancia si no fuera porque los trés átomos no se disponen en una línea recta, sino formando un ángulo (de algo más de 100º), con el átomo de oxígeno en el vértice central, y los de hidrógeno en los extremos. Tenemos entonces que los átomos de hidrógeno, con carga positiva, están “a un lado”, y el de oxígeno, con carga negativa, “al otro lado”. Es decir, una molécula en la que hay carga negativa y positiva (y de igual magnitud) en extremos opuestos. Esto es un dipolo electrico.

Un poco de electromagnetismo

Un dipolo eléctrico en el seno de un campo eléctrico, tiende a orientarse con él. Es algo similar a lo que ocurre con una brújula (pero con campos y dipolos magnéticos, en vez de eléctricos): la aguja es un dipolo magnético, y tiende a orientarse con el campo magnético terrestre, señalando la dirección norte-sur. Si este campo varía, el dipolo se mueve, intentando seguir la variación del campo.

Un campo eléctrico variable con el tiempo genera un campo magnético, y viceversa. No pueden existir por separado, y por eso un campo variable de estas características se denomina campo electromagnético. La propagación de estos campos electromagnéticos es lo que se conoce como radiación electromagnética. Las ondas de radio, las microondas, la luz, los rayos X, son radiación electromagnética, y sólo se diferencian en su frecuencia de oscilación.

Así que tenemos que la radiación electromagnética es, entre otras cosas, un campo eléctrico variable, y por tanto, puede provocar movimiento en dipolos eléctricos. El movimiento dependerá de la intensidad y frecuencia del campo y de la carga y masa del dipolo.

Vibración de moléculas

Volvamos a las moléculas de agua. Si estan sometidas a una campo eléctrico variable, tenderán a orientarse como cualquier dipolo, siguiendo las mismas oscilaciones del campo. Estamos aumentando la energía cinética de las moléculas. Si recordáis un artículo anterior, el calor no es más que la energía cinética de las moléculas o átomos que componen un cuerpo. Por tanto, si sometemos al agua a determinada radiación electromagnética, simplemente se calienta.

2,45 GHz

No todas las frecuencias tienen el mismo efecto. Hay que procurar que las moléculas se pongan a oscilar en poco tiempo, y que la radiación llegue a todos sitios. Si la radiación no afecta demasiado a las moléculas, el cuerpo tardará en calentarse. Pero si las afecta demasiado, la parte del cuerpo que reciba directamente la radiación, la absorberá casi por completo, calentándose mucho pero dejando el resto frío.

En los hornos microondas se decidió utilizar una frecuencia de 2,45 GHz, que es un buen compromiso entre estos dos extremos, y además estaba disponible sin necesidad de permisos (el espectro electromagnético está regulado para evitar interferencias) y lejos de las bandas utilizadas para comunicaciones. Curiosamente, por ese mismo motivo, algunas variantes de la especificación IEEE 802.11, que define el estándar Wi-Fi (tan de moda ahora), utilizan una banda que incluye esa frecuencia. Eso hace que un horno microondas pueda causar interferencias en una red Wi-Fi cercana cuando está encendido.

Esta frecuencia cae dentro de la banda llamada microondas, comprendida entre 1 GHz y 300 GHz, y que recibe ese nombre por ser ondas de radio con una longitud de onda muy pequeña (más pequeña que las utilizadas normalmente para radio y televisión), y por eso al aparato se le denomina horno microondas. Es importante hacer notar que el término microondas se refiere a toda la banda, que como veis es muy amplia. Es un error pensar que todas las microondas tienen exactamente las mismas propiedades que las utilizadas en los hornos.

No es la resonancia

En ocasiones, se explica el funcionamiento de un horno microondas, diciendo que justo la frecuencia a la que operan, corresponde con la frecuencia de resonancia de la molécula de agua. La resonancia es un fenómeno por el cual un sistema tiende a oscilar con máxima amplitud, ante un pequeño estímulo externo de una frecuencia muy concreta. Si alguna vez habéis tocado una guitarra, comprobaréis que si con una sola cuerda tocáis la misma nota que la de la cuerda adyacente, esta cuerda vibrará sin que la hayáis tocado. La simple oscilación del aire hace vibrar la cuerda, porque se produce justo a esa frecuencia a la que la cuerda es “sensible”.

Esto ocurre también con los dipolos eléctricos. Si un dipolo es sometido a un campo electromagnético variable, justo a la frecuencia de resonancia del dipolo, éste oscilará muchísimo con una campo de poca intensidad.

Pero no es el caso de los hornos microondas. La frecuencia de resonancia de la molécula de agua no es de 2,45 GHz. De hecho, es distinta según el estado en que se encuentre, y no sólo hablo de los estados de la materia (sólido, líquido y gaseoso), sino que no es lo mismo que esté en un vaso que dentro de la carne. Si los hornos funcionaran exactamente a la frecuencia de resonancia del agua (si fuera única), el agua absorbería muy rápidamente las microondas, de forma que sólo se calentaría la parte exterior del alimento, y la parte interior quedaría fría. Y eso no nos interesa.

Esto es fácil de entender si pensamos en un principio básico de la física: la conservación de la energía. A la frecuencia de resonancia, las moléculas de agua se moverían muchísimo. Esto significa que se calientan mucho. El calor es energía, y eso quiere decir que el agua absorbería gran parte de la energía de las microondas. El exterior del alimento (lo primero que encuentran las microondas) absorbería casi toda la energía, y al interior no le llegaría nada.

No calienta sólo el agua

Los hornos microondas no calientan sólo el agua. Cualquier molécula dipolar puede verse afectada en un campo electromagnético variable, si la frecuencia y la intensidad es la adecuada. En el rango operación de un microondas, las grasas y azúcares se calientan también, aunque no tanto como el agua.

También se calientan en menor medida, determinados plásticos y cerámicas, algo que seguramente habréis podido comprobar muchos de vosotros, cuando al sacar la comida del horno notais que el plato está muy caliente. Si el recipiente fuera adecuado, el único calor que acumularía es el transmitido por la comida, mediante contacto directo.

Y no calienta de dentro hacia fuera

Finalmente, los hornos microondas tampoco calientan desde dentro hacia fuera, como muchos creen. Como he comentado antes, la radiación cede energía a la comida, a medida que la atraviesa. Lo primero que encuentren las microondas será lo que más se caliente, y obviamente, eso es el exterior.

Lo que ocurre es que la radiación también calienta simultáneamente el interior (aunque menos), en oposición a los métodos de calentamiento convencionales. En un horno de resistencia eléctrica, o en un fogón, o en una vitro, sólo la parte exterior recibe directamente calor. El interior se calienta únicamente mediante conducción, a medida que el exterior va cediendo calor al interior. Y este proceso es lento (seguro que a alguno de vosotros, alguna vez se le ha quemado algo por fuera, quedando crudo por dentro).

También puede llevar a confusión el que la comida esté envuelta o recubierta por algún material menos “sensible” a las microondas. Este envoltorio se calentará menos que la comida. Pero eso es por el material, no porque se caliente más el interior que el exterior.

Una de las primeras cosas que aprendemos de niños, es a soplar sobre la comida cuando está muy caliente, para que se enfríe más rápido. Supongo que casi todo el mundo, cuando le ponen delante una sopa muy humeante, sopla un poco sobre la primera cucharada antes de probarla. Es algo tan extremadamente simple, pero ¿os habéis preguntado alguna vez la física que hay detrás?

El calor

Como sabéis, el calor es una forma de energía (bueno, hay un leve matiz que comentaré más adelante). Las moléculas, átomos y partículas elementales que forman la materia, no están quietas sino en movimiento. Podemos pensar en el calor como en la energía cinética de las partículas que forman un cuerpo. Cuanto más se mueven las partículas, más calor posee el cuerpo.

Hay una importante diferencia entre calor y temperatura que conviene tener presente. La temperatura sólo nos indica la velocidad media de las partículas. El calor, sin embargo, depende de la velocidad y del número de partículas. Es decir, cuanto más masa, más calor. Siendo estrictos, esto que estoy describiendo se llama realmente energía interna. En física, el calor es la transferencia de esta energía interna. Así, un cuerpo no tiene calor, sino energía interna, que es modificada perdiendo o absorbiendo calor.

Transferencia de calor

Hay básicamente tres formas de trasmisión de calor: por radiación, por conducción y por convección.

Todo cuerpo, por el mero hecho de estar a una temperatura superior al cero absoluto (equivalente a -273,15 ºC, temperatura en la que teóricamente todas las partículas se detienen por completo, y que el Tercer Principio de la Termodinámica nos dice que es inalcanzable), emite calor en forma de radiación electromagnética. Las partículas en movimiento, pierden paulatinamente su energía interna, que es desprendida en forma de fotones. También ocurre al contrario, una partícula puede aumentar su energía interna al absorber un fotón, de forma que un cuerpo puede ser calentado mediante radiación electromagnética, si es de la frecuencia adecuada.

Esto es la transmisión de calor por radiación, y a temperatura ambiente sucede sobre todo en la banda de infrarrojos. Puesto que la transferencia se realiza por radiación electromagnética, no es necesario ningún medio y puede ocurrir en el vacío. Así es como el calor del Sol llega a nuestro planeta.

La transmisión por conducción ocurre dentro de un mismo cuerpo, o cuando dos cuerpos entran en contacto. Si la temperatura de dos regiones es distinta, la de mayor temperatura cede calor a la de menor temperatura, hasta que ambas se igualan. Las partículas correspondientes a la zona de más temperatura se mueven más deprisa que las de menor temperatura. Al colisionar unas con otras, las más energéticas ceden parte de su energía a las menos. Podemos pensar en una analogía imaginando bolas de billar moviéndose sobre una mesa. Una bola veloz golpea una más lenta, de forma que la veloz se frena un poco, y la lenta se acelera.

La conducción de calor no es la misma en todos los materiales ni en todas las condiciones. Un metal, por ejemplo, conduce mejor el calor que la madera; por eso es mejor utilizar un cucharón de madera para remover el contenido de una olla en el fuego. Un gas, conduce mejor el calor si se ve sometido a más presión (podemos pensar que las partículas están más juntas, y favorecemos sus colisiones). Además, la transmisión por conducción es más rápida cuanto mayor sea la diferencia de temperaturas.

Finalmente, la transmisión por convección sucede en el seno de fluidos, como el agua o el aire. Como sabéis, el calor dilata los cuerpos, es decir, hace aumentar su volumen. La masa permanece inalterada, por lo que la densidad (masa dividido entre volumen) disminuye con la temperatura, y por tanto, dentro de un mismo fluido, las zonas calientes tienden a flotar sobre las frías. Si la fuente de calor está en la parte de abajo, el fluido caliente ascenderá, cediendo su calor a las zonas más frías, enfriándose por tanto, por lo que volverá a descender, se volverá a calentar, y así sucesivamente. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, en cualquier olla con líquido que ponemos sobre un fogón. Fijáos que parte de la transferencia se realiza porque es la propia materia la que se desplaza.

Convección forzada

Imaginemos que dirigimos un chorro de aire hacia la sopa. Con esto estamos produciendo dos efectos:

Por un lado, al aire caliente de alrededor de la sopa es sustituido por aire frío, a un ritmo mucho mayor que el debido a la convección. En condiciones normales, el aire de alrededor de la sopa está más caliente que el resto. Sin embargo, al producir una corriente de aire, estamos renovando el aire sin permitir que se caliente demasiado. Así, mantenemos una diferencia de temperaturas mayor entre la sopa y el aire de alrededor.

Por otro lado, el aire que golpea la sopa está sometido a una mayor presión, lo cual favorece también la transferencia de calor. Podemos pensar que dado que hay más moléculas de aire en contacto con la sopa, roban más calor.

A esto se le conoce como convección forzada, y podemos ver que la transferencia de calor es mayor cuantro mayor sea la velocidad del aire. Este fenómeno es causa (en parte) de la diferencia entre la temperatura ambiente y la llamada sensación térmica. Todos sabemos que a una misma temperatura ambiente, el hecho de que sople viento o no, supone una diferencia importante en nuestra sensación de frío o calor. Es algo que hemos experimentado a lo largo de nuestra vida. Eso es debido a que nuestra piel no es sensible a la temperatura, sino al ritmo de pérdida de calor. A la misma temperatura, con viento perdemos más calor que sin él, y sentimos más frío. Además, podemos notar como sentimos más frío en las zonas orientadas a la procedencia del viento, debido a que ahí donde nos golpea el aire, la presión de éste es mayor.

Efecto Venturi y efecto Joule-Thomson

Debido a lo anterior, un ventilador es capaz de refrescarnos los días de calor. Pero sería mucho mejor disponer de un equipo de aire acondicionado, ya que el aire que expulsa tiene una temperatura inferior a la del ambiente. Pues bien, eso es más o menos lo que hacemos al soplar.

Uno podría pensar que el aire que expulsamos está más o menos a nuestra temperatura corporal (unos 36 ºC, si no estamos enfermos), y por tanto, no ayudaría demasiado a enfriar la sopa, por ser superior a la temperatura ambiente (es de suponer que nadie se toma una sopa calentita con 40 ºC a la sombra). Y eso sería cierto, si simplemente expulsáramos el aliento con la boca abierta. Cuando soplamos, mantenemos la boca casi cerrada, de forma que el aire se ve obligado a salir por una abertura muy estrecha. El efecto Venturi, nos dice que cuando un gas pasa por un conducto de menor sección, su velocidad aumenta y su presión disminuye. Así que cuando soplamos, el aire sale a mayor velocidad y menor presión que lo haría si simplemente echamos el aliento. Puesto que su presión se ha reducido, al verse fuera de la boca, el aire se expande. El efecto Joule-Thomson nos dice que si un gas se expande libremente, su temperatura disminuye. Por tanto, el aire de nuestro soplido tiene una temperatura inferior a la que cabría esperar.

Esto es algo que podemos comprobar experimentalmente de manera muy simple. Si sostenemos la palma de la mano delante de la boca, y alternativamente soplamos y echamos el aliento, comprobaremos que al soplar, el aire sale más rápido y más frío. Factores ambos que nos ayudan a acelerar la pérdida de calor de la sopa.

Todo junto

Resumamos los fenómenos físicos que ocurren al soplar sobre una sopa. El efecto Venturi acelera el aire de nuestro soplido y produce una convección forzada en el aire que rodea la sopa, acelerando el enfriamento por dos causas: mayor ritmo de renovación de aire, y mayor conducción. El efecto Joule-Thomson lo enfría, evitando que la temperatura del aire expelido sea demasiado alta, cosa que ralentizaría la transferencia por conducción.

Y todo eso, por algo tan tremendamente sencillo como un soplido.

Todo el mundo tiene más o menos una idea de lo que es la criptografía. La idea es cifrar un mensaje de alguna manera, de forma que sea ilegible para el que no sepa descifrarlo. Para ello necesitamos dos elementos básicos: un algoritmo de cifrado, y una clave. Pongamos un ejemplo muy sencillo (y clásico, ya que tengo entendido que se utilizaba en la Roma antigua). Imaginemos que nuestro algoritmo de cifrado consiste simplemente en transformar una letra en otra, desplazando el alfabeto n posiciones. Es decir, si n es 2, tenemos:

A B C D E ... X Y Z
C D E F G ... Z A B

Es decir, la «A» pasaría a ser una «C», la «B» una «D», y así sucesivamente. El texto «mensaje» se convertiría en «ñgouclg».El número de posiciones a desplazar sería la clave. En este ejemplo concreto hemos utilizado el 2 como clave, pero podríamos utilizar otro número. Para descifrar el texto, debemos aplicar un algoritmo inverso, con la misma clave. En este ejemplo, el algoritmo inverso sería desplazar las letras en el otro sentido:

A B C D E ... X Y Z
Y Z A B C ... V W X

Y así, «ñgouclg» se convertiría en «mensaje». Esto es lo que se conoce como cifrado simétrico, ya que se utiliza la misma clave para cifrar y descifrar. El principal inconveniente de este tipo de cifrados es el distribuir la clave por un canal seguro, de forma que sólo su legítimo destinatario la reciba. Si alguien intercepta la clave, podrá descifrar todos los mensajes.

Existe otro tipo de cifrado, llamado asimétrico, en el que se utilizan dos claves relacionadas, de forma que si se cifra con una, se debe descifrar con la otra, y viceversa. Si mantenemos una de ellas secreta, y sólo entregamos la otra, cualquiera puede cifrar mensajes que sólo yo puedo descifrar. Y al revés, si yo cifro un mensaje, cualquiera puede descifrarlo, pero sabe que sólo yo he podido cifrarlo (no ha sido un impostor). Esto es lo que se conoce como sistemas de clave pública: de la pareja de claves, una se distribuye libremente (clave pública), y la otra se mantiene secreta (clave privada). Estos sistemas son ampliamente utilizados en informática, tanto para cifrar mensajes como para firmarlos digitalmente. En efecto, si yo cifro un mensaje con mi clave privada, existe la certeza de que sólo yo he podido cifrar ese mensaje, por lo que es el equivalente a una firma.

¿Cómo se consigue esto? Aquí debemos abandonar los ejemplos sencillos. La criptografía asimétrica se basa en algoritmos no reversibles, es decir, no tienen un algoritmo inverso. Además, tienen la peculiaridad de que una pareja de claves se relaciona de la forma mencionada antes. Si cifro con una, sólo puedo descifrar con la otra. Un punto fundamental es que la relación entre las claves no es evidente, es decir, no se puede deducir la clave privada a partir de la clave pública

La base de todo este tinglado son los números primos. Supongo que todo el mundo recuerda lo que es un número primo: un número que sólo es divisible entre 1 y entre sí mismo. Así, 7 es un número primo (sólo es divisible entre 1 y entre 7) y 6 no (es divisible entre 1, 2, 3, y 6). Otra definición importante a tener en cuenta es la de números coprimos. Dos números son primos entre sí, o coprimos, si no tienen ningún factor en común salvo el 1, o dicho de otra manera, su máximo común divisor es 1. Así, 6 y 9 no son coprimos, ya que 6 es divisible entre 1, 2, 3 y 6; y 9 es divisible entre 1, 3 y 9. Sin embargo, 8 y 9 sí son coprimos, ya que 8 es divisible entre 1, 2, 4 y 8. Los números 8 y 9 sólo tienen el 1 como factor común. Fijáos también que ni 8 ni 9 son primos, es decir, dos números coprimos, no son necesariamente primos (aunque podrían serlo, y de hecho, podéis deducir que un número primo es coprimo de todos los números menores que él).

Bien, una vez recordadas estas nociones básicas de matemáticas, voy a explicar de forma sencilla uno de los algoritmos de cifrado asimétrico más utilizados: RSA. La generación de la pareja de claves en RSA se hace de la siguiente manera:

1. Buscamos dos números primos distintos (y bastante grandes), a los que llamaremos p y q.
2. Obtenemos el producto de dichos números (p · q), al que llamaremos n. Es decir, n=p·q.
3. Obtenemos el producto de los dos números primos menos uno, es decir (p-1)(q-1), al que llamaremos z. Es decir, z=(p-1)(q-1). Ésta es la llamada función φ de Euler, y nos indica el número de todos los números coprimos con n, menores o iguales que n.
4. Buscamos un número primo, menor que z, y coprimo con z, es decir, que no sea factor de z, o dicho de otra manera, que z no sea múltiplo de ese número. A este número lo llamaremos e. Tenemos por tanto que z no es divisible por e.
5. Buscamos un número, al que llamaremos d, tal que su producto con e, se pueda dividir entre z, danto como resto 1 (recordáis lo que es el resto de una división ¿no?). O dicho de otra manera, d·e - 1 es divisible entre z.

Una vez hecho esto, resulta que estos números tienen unas propiedades muy interesantes. Si yo cojo un número cualquiera m, y realizo la operación m^e mod n (donde mod se refiere al resto de la división, es decir, calculo el resto de m^e/n), obtengo un número, al que llamaremos c, que cumple lo siguiente: m=c^d mod n. Es decir, si utilizo e, como exponente, obtengo un número, al que si le aplico el mismo algoritmo, pero con d como exponente, me da el número original. Así que ya tenemos nuestra pareja de claves. El par (e, n) sería la clave pública, y el par (d, n) sería la clave privada (recordemos que para un ordenador, toda la información tratable, sea texto, imágenes, audio, vídeo, etc, se reduce a números).

Fijáos que hemos calculado e y d (las claves) a partir de z, pero este último número no lo necesitamos para nada una vez calculadas las claves, y por tanto lo podemos borrar para siempre (al igual que los números p y q). Si conocieramos z, podríamos deducir una clave a partir de la otra, ya que eso es lo que hemos hecho durante la generación de claves (primero generamos e, y luego d a partir de z y e). Y para obtener z, necesitamos factorizar n (es decir, obtener los números primos que lo componen, p y q). Y aquí está todo el meollo de la cuestión. Con nuestro conocimiento actual de matemáticas, tenemos herramientas para saber si un número es primo o no, sin necesidad de factorizarlo. Factorizar un número suficientemente grande, puede llevar siglos aunque utilicemos los ordenadores más rápidos del mundo, mientras que averiguar si un número del mismo tamaño es primo o no, se puede hacer en segundos (o minutos).

Esto quiere decir que si encontramos una forma de factorizar números grandes en poco tiempo, habremos «reventado» el algoritmo RSA. O dicho de otra forma, para reventar el algoritmo, necesitamos encontrar nuevas técnicas de factorización de números. Es decir, necesitamos conocimientos de matemáticas que, a día de hoy, nadie tiene. Fijáos que este es un detalle importante. No importa los conocimientos de informática que uno tenga, sino los conocimientos de matemáticas. Otra posible forma de reventar el algoritmo sería desarrollando supercomputadoras millones de veces más rápidas que las actuales, algo que de momento no es posible con la actual tecnología de semiconductores de silicio (tal vez se consiga con futuros ordenadores cuánticos).

¿Cómo de grandes son los números de los que estamos hablando? Pues de cientos de dígitos. Actualmente se utilizan en la mayoría de los casos, números de 1.024 bits, que tienen algo más de 300 dígitos. Pero últimamente se ha puesto en tela de juicio si ese tamaño es suficiente (cada pocos meses aparecen procesadores y ordenadores cada vez más rápidos), por lo que ahora se recomiendan claves de 2.048 bits, lo que nos daría números de más de 600 dígitos. ¿Podéis imaginarlo?

“¿Por qué el cielo es azul?” Posiblemente, ésta sea una de las preguntas que todo niño hace en su etapa de preguntar el porqué de todo. Y posiblemente sea también una de las que muchos padres no sabrían contestar muy bien.

Luz y colores

Lo primero que hay que tener en cuenta es qué significa ver algo de un color. La luz visible es una radiación electromagnética, como las ondas de radio, microondas, o rayos X. La única peculiaridad que tiene es que los conos y bastones de nuestros ojos se excitan al recibirla. Al igual que cualquier onda electromagnética, está formada por fotones que se propagan muy rápidamente (a la velocidad de la luz, obviamente) y oscilan a determinadas frecuencias. Cuando vemos algo, lo que ocurre es que fotones procedentes de eso que vemos, estan impactando en nuestra retina. En la inmensa mayoría de los casos, los fotones no son originados por el propio objeto visible, sino que provienen en realidad de una fuente de luz (el sol, una bombilla) y rebotan en el objeto en cuestión.

Nuestros ojos son sensibles a la radiación electromagnética en un rango muy determinado de frecuencias o longitudes de onda (la frecuencia y la longitud de onda son inversamente proporcionales). Fuera de ese rango, no vemos nada. Dependiendo de la longitud de onda, nuestros ojos reaccionan de forma diferente, y así es como percibimos el color. Podemos observar el espectro completo de colores en un arco iris: rojo, naranja, amarillo, verde, azul y violeta. El color rojo corresponde a la lontitud de onda mayor (y por tanto, frecuencia menor) entre 625 nm y 740 nm, y el color violeta corresponde a la longitud de onda menor (y por tanto, a la frecuencia mayor) entre 380 nm y 430 nm (un nanómetro, abreviado nm, es la millonésima parte de un milímetro).

A nuestros ojos puede llegar una combinación de longitudes de onda, que nuestro cerebro interpreta como una variedad mucho mayor de colores. Concretamente, si recibimos todos los colores del arco iris a la vez, percibimos esa visión como de color blanco. Es decir, la luz blanca está formada por varios colores, cada uno con una longitud de onda concreta.

Dispersión

La luz no viaja inalterable por la atmósfera. Existe un fenómeno físico llamado dispersión. Cuando la luz atraviesa un medio transparente, algunos fotones colisionan contra partículas y son desviados de su trayectoria. Parte de la luz se dispersa. Cuanto más cantidad de ese medio atraviesa, más se dispersa. Este fenómeno es mucho más apreciable en gases, y nuestra atmósfera no es ninguna excepción.

La dispersión de la luz depende de la relación entre la longitud de onda y el tamaño de las partículas. Si las partículas son mayores que la longitud de onda, la dispersión es independiente de ésta, y se rige por la teoría de Mie. Todas las longitudes de onda sufren la misma dispersión, o traducido al cristiano, afecta a todos los colores por igual. Además, la dispersión ocurre preferentemente en una dirección no muy desviada de la original. Es decir, la mayoría de fotones que se dispersen, se desviarán solo un poco. Esto es lo que ocurre con las nubes o nieblas. Las microscópicas gotas de agua que las forman, son mayores que la longitud de onda de la luz visible, y por eso son blancas (o grises), ya que todos los colores de la luz que las atraviesan (que es blanca y proviene del sol), se dispersan por igual.

Si las partículas son menores que la longitud de onda, entonces la dispersión depende de la misma, siendo mayor a longitudes de onda menores. Ésta es la llamada dispersión de Rayleigh. En este caso, se puede calcular el coeficiente de dispersión mediante una sencilla fórmula, en la que dicho coeficiente es inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud de onda, por lo que una pequeña variación de la misma puede suponer una gran variación en el coeficiente.

Esto es lo que ocurre en el cielo. La luz azul se dispersa mucho más en nuestra atmósfera que el resto de colores (salvo el violeta). Esto quiere decir que una parte de los fotones correspondientes al azul, no nos llegan directamente desde el sol, sino después de haber rebotado por la atmósfera. Si miramos un punto cualquiera del cielo, nuestros ojos reciben fotones correspondientes a la longitud de onda del azul, que al atravesar la atmósfera han rebotado varias veces, hasta llegar a nosotros. El resto de colores apenas se dispersa, por lo que únicamente los recibimos directamente del sol.

Ese es el motivo, no solo de que el cielo sea azul, sino de que el azul es más intenso cuanto más lejos del sol miramos, ya que a medida que nuestra mirada se acerca al sol, recibimos más cantidad del resto de colores.

Pero el cielo cerca del horizonte también es más pálido, pensaréis algunos. Cierto, pero eso es debido a la luz reflejada por la misma superficie de la tierra.

¿Y qué pasa durante la puesta de sol? Cuando el sol está cerca del horizonte, la luz tiene que atravesar una mayor cantidad de atmósfera que cuando está alto en el cielo. La dispersión aumenta, y ya no sólo la dispersión de la luz azul es apreciable, sino la del resto de colores también. El rojo es el color con longitud de onda más baja, por lo que apenas sufre dispersión. Al ser el único color que nos llega directamente del sol, lo vemos rojo. El naranja y amarillo sí se dispersan, y por eso, el cielo que rodea el sol es de esos colores. El verde se dispersa más, y aunque no se puede apreciar en todas las puestas de sol, aquellos con suerte y buena vista podrán distinguir a veces un tenue color verde separando las zonas amarillentas y azuladas de cielo. El azul y violeta de dispersan mucho más, y lejos del sol, podemos ver aún algo de estos colores.

¿Y por qué no violeta?

El lector avispado se hará ahora una pregunta: si la dispersión aumenta con la inversa de la longitud de onda, y el violeta es el color con menor longitud de onda, ¿por qué demonios el cielo es azul y no violeta? Bueno, eso es debido a nuestra propia fisiología. Nuestros ojos tienen receptores (conos) para ver sólo tres colores: rojo, verde y azul. El resto de colores excita varios tipos de conos a la vez, o lo que es lo mismo, podemos obtener el resto de colores a partir de la combinación de esos tres. Así, la luz amarilla excita los conos correspondientes al rojo y al verde. Si en vez de luz amarilla, recibimos luz roja y verde mezclada, veremos amarillo igualmente.

De hecho, así es como funcionan las televisiones y monitores de ordenador. Si miráis muy de cerca la pantalla (tiene que ser de tubo de rayos, ya que en las de plasma no se aprecia), veréis puntitos únicamente de esos tres colores. Los que hayan utilizado alguna vez algún programa de diseño gráfico o retoque fotográfico, o simplemente les guste el diseño web, sabrán que todos los colores se obtienen como mezcla de rojo, verde y azul. Se trata del famoso RGB (Red Green Blue). Esta forma de percibir los colores, provoca que haya colores que veamos mejor que otros. Concretamente, nuestra sensibilidad al color azul es muchísimo mayor que al violeta.

Por otro lado, tenemos el hecho de que el violeta, tal vez se disperse demasiado para que nos llegue con suficiente intensidad. Esto, unido a lo anterior, hace que veamos el cielo azul, y no violeta.

¿Os habéis preguntado alguna vez por qué hay determinadas mezclas de tonos que resultan agradables, casi naturales, mientras que otras parecen ruido? Independientemente de los gustos musicales, si escuchamos un acorde formado por do, mi y sol, percibiremos una sensación de unidad, de armonía, mientras que un acorde formado por do, do# y re nos resultará extraño, casi desagradable. Uno puede pensar que se debe a que nuestro oído está acostumbrado a determinados sonidos, debido al entorno en el que nos hemos educado. Sin embargo, hay un motivo perfectamente objetivo para ello: la física.

Tonos y frecuencias

Como todos sabréis, el sonido no es más que una ónda mecánica, que se transmite por el aire u otros medios, hasta llegar a nuestros oídos. En el caso de una nota musical, dicha onda es periódica. Un tono puro corresponde a una onda senoidal, es decir, una función del tipo f(t) = A sen(2 π f t), donde A es la amplitud, t es el tiempo y f la frecuencia. En el mundo real no existen tonos puros, pero cualquier onda periódica se pueden extresar como suma de tonos puros de distintas frecuencias. Así, si quisiéramos modelar matemáticamente un tono real, tendríamos una función que sería la suma de varios senos (matemáticos ¿eh?). Existiría una frecuencia fundamental (la de mayor amplitud), y varias frecuencias múltiplos de la fundamental, llamados armónicos. Las frecuencias de estos armónicos son un múltiplo entero de la principal.

La serie armónica

Bien, imaginemos un momento que tenemos un instrumento musical perfecto, que al sonar genera tonos puros. Si duplicamos la frecuencia de un tono, tenemos la misma nota en la octava superior, y si dividimos entre dos, tenemos la misma nota en la octava inferior. Es decir, si duplicamos la frecuencia del do central, obtenemos el do de la siguiente octava. Si triplicamos la frecuencia, obtenemos lo que se llama quinta perfecta (en la siguiente octava; si queremos permanecer en la misma, debemos multiplicar por 3/2), que en el caso de partir de un do, corresponde a la nota sol. Si cuadruplicamos la frecuencia, estamos multiplicando por dos, dos veces, es decir, estamos subiendo dos octavas, así que tenemos otro do. Si quintuplicamos la frecuencia, obtenemos la llamada tercera mayor (dos octavas por encima; si queremos permanecer en la misma octava, hay que multiplicar por 5/4), es decir, un mi. Si multiplicamos por seis, estamos multiplicando por dos y por tres, es decir, tenemos otra vez la quinta perfecta.

Detengámonos aquí un momento, y quedémonos con los múltiplos 4, 5 y 6. Tenemos la sucesión do, mi, sol, en la misma octava, que es un acorde Do Mayor. Por tanto, en un acorde mayor, las frecuencias de las notas corresponden a los armónicos 4, 5 y 6 de la frecuencia correspondiente a la nota principal de dos octavas más abajo. Eso quiere decir que si tocamos un do con un instrumento real (es decir, que no genere tonos puros), ese sonido tiene entre sus frecuencias, las de un acorde Do Mayor de dos octavas por encima. Si tocamos un acorde mayor cualquiera, las tres notas tendrán armónicos comunes, de forma que sonará como si de un todo homogéneo se tratase.

Si seguimos multiplicando y calculando armónicos, obtenemos la escala musical. Así, si multiplicamos la frecuencia por 8 (olvidémonos del 7, ya veréis por qué), tenemos nuevamente la misma nota, 3 octavas por encima. Si multiplicamos por 9, obtenemos la llamada segunda mayor (3 octavas por encima), que corresponde a un re. Vemos además que 9 es 3 por 3, es decir, sería la quinta de la quinta, y efectivamente, re es la quinta perfecta de sol (que es la quinta perfecta de do). Si multiplicamos por 10, tenemos otra vez la tercera (estamos multiplicando por 5 y por 2), es decir, un mi. Si multiplicamos por 11 tenemos el fa (con matices, ya lo explicaré). Por 12, nuevamente el sol (12=4×3). Por 13, tenemos un la (otra vez con algo que comentar). Y por 15, dado que es 3×5, tenemos la tercera de la quinta, un si (la quinta de do es sol, y la tercera de sol es si).

Esto es lo que se conoce como serie armónica, y la frecuencia de las notas, en su relación con la primera, queda de la siquiente forma:

Afinación natural

Habéis visto que me he saltado los armónicos 7 y 14. ¿Por qué? ¿Hay algo malo con el 7? Lo que ocurre es que la escala musical que conocemos (escala diatónica), en realidad se obtuvo de otra manera. Veréis, la quinta perfecta se llama también dominante. Fijáos que es el primer armónico que nos aparece, que corresponde a otra nota (3/2). Si obtenemos los primeros armónicos de ésta, debemos multiplicar la dominante por 3/2 y por 5/4. La quinta de sol es re, y la tercera es si. Sus relaciones con do serían de 9/8 y 10/8 rescepcivamente. Bueno, hasta ahora nada nuevo, ya que es igual que la serie armónica.

Pero ahora hagámoslo a la inversa. Al igual que sol es la quinta de do, do es la quinta de otra nota. Dado que la quinta es la donimante, esa otra nota de la que la principal sería quinta, se llama subdominante. Do es la quinta de fa, por lo que fa es la subdominante de do. Para llegar de fa a do, habría que multiplicar por 3/2 por lo que para llegar desde do a fa, habría que multiplicar por su inversa: 2/3. Esta nota estaría una octava por debajo, por lo que si queremos mantenernos en la misma octava, multiplicamos por 4/3. Partamos de fa y obtengamos sus primeros armónicos, es decir, su quinta y su tercera. La quinta ya sabemos cuál es (do). La tercera sería la, y recordemos que se obtiene multiplicando por 5/2. Si queremos llegar desde do, multiplicaríamos por 2/3 (fa) y después por 5/2, es decir, estamos multiplicando por 5/3.

Esta afinación es la que se ha utilizado en Europa durante siglos, y la frecuencia de las notas, en su relación con la primera, queda de la siquiente forma:

Fijáos en la diferencia que hay con la serie armónica, en las notas fa y la.

Escalas diatónica y cromática

Obteniendo las notas musicales de esta última forma, uno se explica muchas cosas, que de otro modo parecerían arbitrarias, como el hecho de que en nuestra escala tengamos 7 notas. Vamos a calcular ahora la relación de frecuencias entre cada nota consecutiva. Entre do y re, es evidente que hay una relación de 9/8. Recordando cómo dividir fracciones, vemos que sucede lo mismo entre fa y sol, y también entre la y si. Sin embargo, entre re y mi tenemos una relación de 10/9, la misma que entre sol y la. En realidad, la diferencia es muy pequeña, ya que 9/8 es 1,125, y 10/9 es 1,111… (con infinitos decimales). Pero veamos qué ocurre entre mi y fa. La relación entre estas dos notas es de 16/15, la misma que la existente entre si y el do de la siguiente octava (dividimos 2 entre 15/8). Esta relación si es bastante distinta, ya que 16/15 = 1,0666…

Pues bien, dos notas con una relación de frecuencias de 9/8, se dice que están separadas un tono. Y dos notas con una relación de 16/15, están separadas un semitono. Vemos pues que en nuestra escala musical de 7 notas, hay cinco intervalos de un tono, y dos (incluyendo el do de la siguiente octava) de un semitono. Una escala de este tipo, se denomina escala diatónica.

Puesto que hemos definino lo que es un tono y un semitono, podemos definir notas intermedias entre las que están separadas un tono entre sí, de forma que haya un semitono entre la anterior y la posterior. Es decir, podemos buscar una nota entre do y re, de forma que haya un semitono de separación entre ambas. Esa nota sería do# (do sostenido) o re♭ (re bemol), aunque hay que hacer notar que en algunos sistemas, existe una sutil diferencia entre ambas. Tenemos estas notas “intermedias” entre todas las “naturales”, salvo entre mi y fa, y si y do, puesto que entre estas notas la diferencia ya es de un semitono.

Si miramos detenidamente el teclado de un piano, observaremos que hay teclas blancas y teclas negras. Las teclas blancas corresponden a las notas naturales (las 7 notas que todos conocemos), y las negras corresponden a estas notas intermedias. Veremos que entre dos teclas blancas hay una negra, excepto entre mi y fa, y entre si y do.

Si consideramos estas notas intermedias como “igual de importantes” que las otras, tenemos entonces una escala formada por 12 intervalos de un semitono de separación. Es lo que se conoce como escala cromática. Es fácil darse cuenta que la escala diatónica es un caso particular de la cromática, en el que hemos “despreciado” algunas notas.

Temperamento justo o igual

Utilizando el sistema descrito, tenemos un problema a la hora de cambiar la tonalidad de una melodía. Hemos visto que la relación entre una nota y su segunda mayor es 9/8, y corresponde a una diferencia de un tono. La relación entre una nota y su tercera mayor es de 5/4. ¿Qué pasa si quiero subir un tono, toda una melodía?. Pues que el do pasaría a ser re, el re sería mi, y así sucesivamente. Para ello, se multiplicarían todas las frecuencias por 9/8. Pero la relación entre do y mi es de 5/4. Y si multiplicamos por 9/8 dos veces, tenemos 81/64, que no es 5/4. Es decir, no tocaríamos realmente el mismo mi. Esto no sería problema en instrumentos como el violín, donde podemos obtener la frecuencia que queramos poniendo el dedo en el sitio justo, pero sí lo es para instrumentos que sólo pueden emitir un número “fijo” (discreto) de frecuencias, como el piano (cada cuerda es una nota) o la guitarra (las frecuencias viene dada por la posición de los trastes). Utilizando esta escala, no podríamos subir o bajar el tono de una melodía sin alterarla.

Para solucionar este problema, se creo la escala temperada (concretamente, con temperamento justo, ya que hay otras variantes). Sabemos que en la escala cromática tenemos 12 intervalos de un semitono de diferencia, pero que en realidad, estos intervalos no son completamente iguales. La idea es hacer precisamente que los 12 intervalos sean idénticos. Teniendo en cuenta que si subimos 12 semitonos, llegaremos a la misma nota de la siguiente octava, y que el subir de octava significa multiplicar por 2 la frecuencia, es fácil darse cuenta de que la relación de frecuencias entre un semitono y el siguiente debe ser un número que multiplicado por sí mismo 12 veces, nos de 2. Y ese número es la raíz doceava de 2 (2^1/12).

Con este sistema, la relación entre dos notas con un tono de diferencia es de raíz doceava de dos al cuadrado (2^2/12), que aunque no es exactamente 9/8, la diferencia (0,003) es casi inapreciable para el oído humano (sobre todo en mitad de una composición). Otro ejemplo: la quinta perfecta correspondería a raíz doceava de dos a la séptima (2^7/12). La diferencia entre 3/2 y 2^7/12 es de 0,0017.

La fundamental

Hasta ahora no he hecho más que hablar de relaciones entre frecuencias, pero ¿de dónde partimos? En algún punto tendremos que definir una frecuencia concreta, y obtener el resto de las notas a partir de ahí. Pues bien, ese punto es el llamado la fundamental, que es el la inmediatamente posterior al llamado do central (en un piano, es el do que está hacia la mitad del teclado). Su afinación ha ido variando a lo largo de la historia, pero en la actualidad, esa nota corresponde exactamente a 440 Hz. Esta frecuencia es precisamente la que emite un diapasón al ser golpeado. Y a partir de esta frecuencia, se obtienen todas las demás notas.

Conclusión

Así que vemos que todo se reduce a una cuestión de frecuencias y relaciones entre ellas. Física y matemáticas. Y todo partiendo del fenómeno físico que son los armónicos. Arte y ciencia mezclados. Curioso ¿verdad?

La semana pasada expliqué los efectos de la Teoría Especial de la Relatividad, mencionando que es un caso particular de la Teoría General de la Relatividad. Las matemáticas de esta teoría son mucho más complejas que las de la Relatividad Especial, ya que incluye cálculo tensorial, pero podemos acercarnos un poco a ella, para hacernos una idea de sus consecuencias.

Sistemas de referencia no inerciales

Einstein desarrolló la Relatividad General debido a las limitaciones de la Relatividad Especial, que sólo podía aplicarse a sistemas de referencia inerciales, es decir, en reposo o movimiento rectilíneo y uniforme. ¿Qué tiene de especial un sistema de referencia no inercial (es decir, con variaciones de movimiento)? Bien, imaginemos a un conductor que viaja en coche, y de pronto frena. Si utilizamos el suelo como sistema de referencia, podemos entender fácilmente que el rozamiento de las ruedas y los discos de freno, ejercen una fuerza que se opone al movimiento del coche. Éste decelera, hasta que se para. Observaremos también, que la fuerza del freno se aplica sólo sobre el coche, y no sobre el conductor. Por tanto, el conductor seguirá desplazándose durante un instante a la misma velocidad que antes, hasta que el cinturón de seguridad se tense y ejerza una fuerza sobre el conductor y también le haga decelerar. Así que el freno ejerce fuerza sobre el coche, pero es el cinturón el que ejerce fuerza sobre el conductor para decelerarlo (bueno, también el propio rozamiento entre el asiento y el trasero del conductor).

Supongamos que la fuerza del freno es constante, de forma que la deceleración es constante hasta que se detiene el coche. Si ahora en vez del suelo, utilizamos como sistema de referencia el coche, estaremos cambiando a un sistema de referencia no inercial. En este caso, para que las cosas nos cuadren, y puesto que las leyes de la física son las mismas, se debe añadir al sistema una fuerza sobre cada objeto, de forma que provoque la misma aceleración que la que tiene el sistema de referencia, pero en sentido opuesto. ¿Qué quiere decir esto? Pues que hay que añadir una fuerza aplicada sobre el conductor, que le imprime una aceleración igual a la deceleración del coche, pero hacia delante. En este caso, veríamos que esa fuerza empuja hacia delante al conductor, hasta que es detenido por el cinturón. Es lo que llamamos fuerza de inercia.

Con los giros ocurre lo mismo. Si el coche gira, desde la carretera observaremos que la fuerza de rozamiento de las ruedas cambia la dirección del coche, y no la del conductor, que es empujado posteriormente por el cinturón o el lateral del coche. Pero desde el coche, lo que observamos es que el conductor es empujado por una fuerza misteriosa, en la dirección contraria del giro. Es la famosa fuerza centrífuga, que aparece únicamente cuando tomamos el coche como sistema de referencia, es decir, no existe en sistemas de referencia inerciales (como la carretera).

Al principio puede parecer un poco confuso. ¿Entonces la fuerza centrífuga no es real? Bueno, sí y no. Eso depende de nuestro sistema de referencia.

Principio de equivalencia

Volvamos un momento a los sistemas inerciales (es decir, movimiento rectilíneo y uniforme). En un sistema inercial, no podemos saber realmente si estamos en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme. Imaginemos que viajamos en avión. Una vez alcanzada la altura y velocidad de crucero (es decir, el avión se mueve a velocidad constante), y no tenemos turbulencias, no podríamos decir si estamos en reposo o en movimiento. Bueno, sí, podemos mirar al exterior por una ventanilla y ver moverse las nubes, pero imaginemos que todas las ventanillas están tapadas, o que es de noche. Es totalmente imposible saber si el avión se mueve o está en reposo. Es más, ni siquiera podemos decir en qué dirección se mueve. Bueno, vale, podemos saberlo si localizamos el morro y la cola del aparato, pero supongamos que estamos encerrados en un armario dentro del avión, y no sabríamos decir dónde está el morro y dónde la cola.

Pues bien, al igual que la Relatividad Especial se relaciona con los sistemas inerciales, la Relatividad General surge al considerar sistemas no inerciales. Uno de sus pilares es el llamado Principio de Equivalencia, que expresado de forma informal, nos dice que un sistema en caída libre es equivalente a un sistema en ingravidez. Esto quiere decir que no podemos distinguir entre caída libre e ingravidez. De hecho, los astronautas de la ISS o de cualquier vehículo en órbita, no estan ingrávidos, sino en caída libre, y sin embargo realizan experimentos como si realmente no hubiera gravedad.

Puesto que no podemos distingur entre un estado de ingravidez real y uno de caída libre, es evidente que tampoco podemos distinguir entre gravedad y aceleración. Es decir, si estamos encerrados en un compartimento sin ventanas, y sentimos nuestro peso, no podemos determinar si estamos en la superficie de nuestro planeta, o en una nave espacial que se mueve con una aceleración constante de 9,8 m/s².

Al igual que ocurre con las fuerzas de inercia o centrífuga, la fuerza de la gravedad aparece o no, dependiendo de nuestro sistema de referencia. Gravedad y aceleración de nuestro sistema son indistinguibles, así que podemos pensar que la fuerza gravitatoria es tan real (o no) como la fuerza centrífuga. Depende del sistema de referencia.

La curvatura del espacio-tiempo

A la hora de desarrollar matemáticamente todo esto, trajo como consecuencia lo que posiblemente es el aspecto más conocido de la Relatividad General: la curvatura del espacio-tiempo. En efecto, la mera presencia de una masa, deforma el espacio-tiempo alrededor. El clásico ejemplo que se suele utilizar es el de una superficie elástica y tensa (como una red), sobre la que se coloca un objeto pesado. El objeto se hundirá, deformando y estirando esa superficie. La idea es que la gravedad no es una fuerza por sí misma, sino una consecuencia de la deformación del espacio-tiempo.

Esto tiene como consecuencia que la clásica geometría euclídea no sirve. ¿Y eso qué es? Bueno, la geometría euclídea es la que nos enseñan en el colegio. En ella, sólo podemos trazar una línea recta paralela a otra, que pase por determinado punto. También en ella, las suma de los ángulos de un triángulo es 180º. Pero existen otros tipos de geometría, como la elíptica y la hiperbólica.

Un ejemplo de geometría elíptica es la Tierra. Si consideramos que nuestro espacio geométrico es únicamente la superficie de la Tierra (es decir, no podemos excavarla para ir de a la cara opuesta atravesando el centro de la tierra), las rectas no son del todo rectas, sino que siguen la curvatura de la Tierra. A estas “rectas no tan rectas”, se les llama geodésicas. Parece obvio entonces que en la Tierra no pueden existir geodésicas paralelas, ya que terminarán encontrándose en algún sitio, como los meridianos terrestres, que se cruzan en los polos (ojito, que en esta geometría, los paralelos terrestres no son geodésicas, con la excepción del ecuador). Además, podemos trazar triángulos cuya suma de ángulos sea superior a 180º. Por ejemplo, si desde el polo norte trazamos dos líneas, una siguiendo el meridiano 0º, y otra el meridiano 90º E, hasta que corten el ecuador, tendremos un triángulo con tres ángulos rectos, es decir, un triángulo cuya suma de ángulos es 270º.

El “opuesto”, por llamarlo de alguna manera, de la geometría elíptica es la geometría hiperbólica. En ella se pueden trazar múltiples paralelas a una geodésica (una “recta”), y que pasen todas ellas por el mismo punto. Además, las suma de los ángulos de un triángulo es menor que 180º. La deformación del espacio-tiempo que produce un cuerpo con masa, sigue esta geometría.

Una consecuencia de todo esto, es que la luz no viaja realmente en línea recta, sino que, pese a estar formada por fotones, que son partículas sin masa, es afectada por la gravedad, de forma que se curva siguiendo trayectorias geodésicas. Cuando un rayo de luz pasa cerca de un objeto masivo (como una estrella), esta curvatura se puede apreciar. Esto se pudo demostrar durante un eclipse solar total en 1919, en el que se observó y midió la posición de las estrellas cercanas al sol, desde nuestra perspectiva (algo imposible de hacer sin un eclipse). Se comprobó que esas posiciones medidas no correspondían con las observadas normalmente. Concretamente, parecían estar más separadas entre sí de lo que realmente están. Eso era debido a que la luz que nos llegaba de ellas, al pasar cerca del sol, se curvaba.

Fijáos que estoy hablando todo el rato del espacio-tiempo, no del espacio. Y es que el tiempo también se deforma en presencia de una masa. Resulta que otra consecuencia de todo este tinglado, es que el tiempo se ralentiza con la gravedad. Es decir, en la superficie de nuestro planeta, el tiempo transcurre más despacio que en una nave espacial en reposo lejos de cualquier planeta. Esto ha sido confirmado actualmente en satélites, donde se mezclan los efectos de la dilatación temporal con la velocidad, y la dilatación temporal con la gravedad, de forma que los relojes de los satélites GPS tienen que ser ajustados periódicamente para compensar estos efectos.

Incompatibilidad con la Mecánica Cuántica

La validez de la Relatividad General ha sido demostrada en numerosas ocasiones (por ejemplo, explicó una discrepancia en la órbita de Mercurio, entre su movimiento real y el predicho por la Mecánica Clásica). Sin embargo tiene un problema. En algunos puntos, entra en contradicción con la Mecánica Cuántica. Es decir, la Relatividad General y la Mecánica Cuántica no pueden ser ciertas a la vez. Una de las dos, es necesariamente errónea.

Entonces ¿debemos desecharlas? Claro que no. Precísamente, la Relatividad Especial surgió de un problema similar: la Mecánica Clásica newtoniana y las Leyes de Maxwell (electromagnetismo) parecían contradecirse. El resultado es que la Mecánica Clásica se descubrió incorrecta, pero ello no impide que siga siendo utilizada en numerosísimos ámbitos, y enseñada en el colegio. Cuando el factor de Lorentz (¿os acordáis de él?) es igual a uno, las ecuaciones de la Relatividad Especial se convierten en las de la Mecánica Clásica. A velocidades muy bajas comparadas con la velocidad de la luz, es casi igual a uno, y por tanto, el error cometido es despreciable. Para hacernos una idea, a 900 km/h (velocidad de crucero de un avión comercial), el factor de Lorentz (que recordemos era igual a (1-v²/c²)^1/2, es de 1.0000000000003. ¡El primer decimal aparece en la 13ª posición tras la coma!

Así que, al igual que podemos utilizar la Mecánica Clásica siempre que nos limitemos a velocidades no muy altas, podemos seguir utilizando la Relatividad General sin problemas, siempre que no la intentemos aplicar a escala subatómica, donde pierde su validez y nos adentramos en los dominios de la Mecánica Cuántica. Y ésta podemos aplicarla, siempre que nos limitemos precisamente a esa escala.